Eigenwertprobleme selbstadjungierter und elliptischer Differentialoperatoren zweiter Ordnung sind in zahlreichen wissenschaftlichen und ingenieurtechnischen Anwendungen von Interesse, wobei oft einige der kleinsten Eigenwerte zusammen mit den entsprechenden Eigenfunktionen zu berechnen sind. Zur numerischen Behandlung solcher Eigenwertprobleme sind typischerweise die zugehörigen durch Finite-Elemente-Diskretisierungen konstruierten Matrixeigenwertprobleme zu lösen. Besonders effizient sind mit Mehrgitterverfahren vorkonditionierte Gradientenverfahren.
Diese Gradientenverfahren lassen sich in einer Hierarchie systematisch darstellen. Eine mathematische Herausforderung besteht in der zugehörigen Konvergenzanalyse. In dieser Arbeit werden ausgehend von den bekannten Konvergenzabschätzungen für die Verfahren erster Stufe neue Ergebnisse für weitere Verfahren präsentiert. Werkzeuge wie Kurven-Differentiation und Ellipsen(Ellipsoide)-Analyse sind sehr erfolgreich bei der Charakterisierung der extremalen Konvergenz und der anschließenden niedrigdimensionalen Analyse, was zu neuen scharfen Konvergenzabschätzungen für Verfahren höherer Stufe führt. Außerdem werden für blockweise Verfahren einige Sinusungleichungen bezüglich Unterraumwinkel und kanonischer Winkel zur geometrischen Verfahrensinterpretation nachgewiesen und neue Argumente zur Clusterrobustheit entwickelt.
Eigenvalue problems of elliptic and self-adjoint second-order differential operators arise in many scientific and engineering applications. To compute a moderate number of the smallest eigenvalues and the associated eigenfunctions a finite element discretization is considered, which results in associated matrix eigenvalue problems. For the solution of these discretized problems some preconditioned gradient iterations, especially those with multigrid preconditioners, can be applied successfully.
In this thesis we consider a hierarchy of gradient iterations. There are well-known convergence estimates for the simplest solvers of this hierarchy, namely, a preconditioned inverse vector iteration. Based on these estimates new results for further methods will be presented. We use mathematical tools like curve differentiation and ellipses (ellipsoids) analysis, which allow to characterize the extremal convergence and make the following low-dimensional analysis more intuitive. This leads to new sharp convergence estimates for higher-grade methods. Furthermore, we prove some sine-inequalities of subspace angles and canonical angles for the geometric interpretation of blockwise methods. We also show some new arguments to analyze the eigenvalue-cluster robustness.