Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

Institut für Mathematik

Fachgebiet: Numerische Mathematik

Betreuer: Prof. Dr. Klaus Neymeyr



Dipl.-Math. Marcel Krüger
(e-mail: marcel.krueger@uni-rostock.de )

Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems mit algebraischen Mehrgittermethoden

Kern der Arbeit ist die Lösung der verallgemeinerten Eigenwertprobleme für symmetrisch positiv definite Matrizen unter Verwendung vorkonditionierter Iterationen. Im Fall hochdimensionaler Problemstellungen sind diese als effiziente Methoden zur Berechnung einiger der kleinsten Eigenwerte bekannt. Die zur Umsetzung der Algorithmen benötigten vorkonditionierten Residuen können dabei mittels Mehrgitterverfahren berechnet werden. Im Gegensatz zur etablierten Methode der geometrischen Mehrgitterverfahren wird hier eine algebraische Mehrgittervorkonditionierung vorgeschlagen. Im Zuge der Betrachtungen erfolgen eine ausführliche Darstellung des Konvergenzbeweises zur vorkonditionierten inversen Iteration und Erörterungen zur Theorie algebraischer Mehrgitterverfahren. Zum Nachweis der Effizienz der resultierenden Eigenlöser wird ein breites Feld an Modellaufgaben, insbesondere auch anisotrope und geometriefreie Probleme, untersucht und bewertet.

The focus of this work is the solution of the generalized eigenvalue problem for symmetric positive definite matrices by means of preconditioned gradient iterations. These iterations are known to work well if only some of the smallest eigenvalues are to be computed. Crucial for the convergence of these eigensolvers is the computation of preconditioned residuals. This computation can be done by multigrid methods in an efficient manner. In contrast to the well-established geometric preconditioning this work proposes the use of algebraic multigrid as preconditioning operation. A detailed review of the convergence proof for the preconditioned inverse iteration is given. Also some aspects of the theory of algebraic multigrid are presented. A collection of model problems, in particular anisotropic and grid-free cases, are computationally analysed to show the efficiency of the applied algorithms.