Untersuchungsgegenstand der Arbeit ist die numerische Berechnung von nichtnegativen Matrixfaktorisierungen für spektroskopische Anwendungen. Ausgangspunkt ist das Gesetz von Lambert und Beer in Matrixformulierung. Die Absorption eines zeitlich veränderlichen chemischen oder physikalischen Systems kann über einem Zeit- und Frequenzraster in Matrixform dargestellt werden. Diese Absorptionsmatrix ist näherungsweise gleich dem Produkt einer Matrix zeitlicher Konzentrationsprofile und einer Matrix zugeordneter Reinkomponentenspektren. Die mathematische Aufgabenstellung besteht darin, zu gegebener Absorptionsmatrix auf die unbekannten nichtnegativen Matrixfaktoren zu schließen. Solche Zerlegungen sind grundsätzlich uneindeutig. In der Arbeit wird die Lösungsmenge aller möglichen Zerlegungen untersucht, trivialen Uneindeutigkeiten wird durch die Einführung von Äquivalenzklassen begegnet und es werden Bedingungen für partielle Eindeutigkeit formuliert. Weiter wird das Faktorisierungsproblem als regularisierte Optimierungsaufgabe formuliert und somit ein neuer Faktorisierungsalgorithmus eingeführt. Dieser Algorithmus beruht auf einer Singulärwertzerlegung zur Niedrigrangapproximation mit nachfolgendem optimierten Basiswechsel. Zur Verarbeitung hochdimensionaler Daten werden Multi-Level-Methoden entwickelt. Anhand von Fallbeispielen (spektroskopischer Daten) wird die neue Methode mit klassischen Zugängen zur nichtnegativen Matrixfaktorisierung verglichen.
We study the numerical calculation of non-negative matrix factorizations with application to spectroscopy. The underlying model is based on a matrix formulation of the well-known Lambert-Beer law. The absorption of light running through a chemical or physical system is represented on a time-frequency grid. The resulting so-called absorption matrix is to be split – at least approximately – into a product of temporal concentration profiles and a set of pure component spectra, both matrices themselves. From the mathematical point of view, the problem consists in finding the unknown factors from their product, knowing and respecting that all entries need to be non-negative. Lacking further knowledge, such decompostions are notoriously non-unique. We analyze the set of all possible decompositions, handle trivial ambiguities by introducing equivalence classes and, eventually, formulate conditions for partial uniqueness. Later on, the factorization is re-formulated as a regularized optimization problem, which establishes a new algorithmic approach to this matter. The proposed algorithm consists of a singular value decomposition, which allows a low rank approximation that is followed by an optimized basis transformation. Given the need for processing high-dimensional data as well, multi-level methods are developed basing on the ideas described above. The new method is verified by a comparison of results obtained from spectroscopic sample data, whereby several classical methods serve as benchmarks.