This thesis deals with fully nonlinear Black-Scholes equations which arise in context of option pricing theory. In the first part, it is shown how to derive fully nonlinear Black-Scholes equations and their economic importance as well as their meaning are introduced. The second part focuses on the existence and uniqueness theory of fully nonlinear parabolic partial integro-differential equations and applies this theory to solve nonlinear Black-Scholes equations. Basic methods, which are used, are the concept of viscosity solutions and a fixed point method. The third part studies the regularity of fully nonlinear parabolic differential equations. The used techniques are based on the concept of viscosity solutions and a continuous dependence result. The last chapter deals with the numerical implementation of fully nonlinear parabolic partial integro-differential equations by using a finite difference scheme.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit vollständig nichtlinearen Black-Scholes Gleichungen, welche im Zusammenhang mit der Theorie der Optionspreisbestimmung entstehen. Im ersten Teil wird gezeigt, wie vollständig nichtlineare Black-Scholes Gleichungen entstehen und ihre ökonomische Wichtigkeit sowie ihre Bedeutung werden dargestellt. Der zweite Teil konzentriert sich auf die Existenz- und Eindeutigkeitstheorie von vollständig nichtlinearen parabolischen partiellen Integro-Differentialgleichungen. Die grundlegenden Methoden, welche benutzt werden, sind das Konzept der Viskositätslösung und eine Fixpunktmethode. Der dritte Teil untersucht die Regularität von vollständig nichtlinearen parabolischen Differentialgleichungen. Die hierbei benutzten Techniken basieren auf dem Konzept der Viskositätslösung und einem Resultat über die stetige Abhängigkeit. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der numerischen Implementation von vollständig nichtlinearen parabolischen Integro-Differentialgleichungen unter Zuhilfenahme eines Finiten-Differenzen-Schemas.