This thesis deals with fully nonlinear Black-Scholes equations which arise in context of option pricing theory. In the first part, it is shown how to derive fully nonlinear Black-Scholes equations and their economic importance as well as their meaning are introduced. The second part focuses on the existence and uniqueness theory of fully nonlinear parabolic partial integro-differential equations and applies this theory to solve nonlinear Black-Scholes equations. Basic methods, which are used, are the concept of viscosity solutions and a fixed point method. The third part studies the regularity of fully nonlinear parabolic differential equations. The used techniques are based on the concept of viscosity solutions and a continuous dependence result. The last chapter deals with the numerical implementation of fully nonlinear parabolic partial integro-differential equations by using a finite difference scheme.
Diese Arbeit besch�ftigt sich mit vollst�ndig nichtlinearen Black-Scholes Gleichungen, welche im Zusammenhang mit der Theorie der Optionspreisbestimmung entstehen. Im ersten Teil wird gezeigt, wie vollst�ndig nichtlineare Black-Scholes Gleichungen entstehen und ihre �konomische Wichtigkeit sowie ihre Bedeutung werden dargestellt. Der zweite Teil konzentriert sich auf die Existenz- und Eindeutigkeitstheorie von vollst�ndig nichtlinearen parabolischen partiellen Integro-Differentialgleichungen. Die grundlegenden Methoden, welche benutzt werden, sind das Konzept der Viskosit�tsl�sung und eine Fixpunktmethode. Der dritte Teil untersucht die Regularit�t von vollst�ndig nichtlinearen parabolischen Differentialgleichungen. Die hierbei benutzten Techniken basieren auf dem Konzept der Viskosit�tsl�sung und einem Resultat �ber die stetige Abh�ngigkeit. Das letzte Kapitel besch�ftigt sich mit der numerischen Implementation von vollst�ndig nichtlinearen parabolischen Integro-Differentialgleichungen unter Zuhilfenahme eines Finiten-Differenzen-Schemas.