As shown by Peter McMullen in 1983, the coefficients of the Ehrhart polynomial of a lattice polytope can be written as a weighted sum of facial volumes. The weights in such a local formula depend only on the outer normal cones of faces or, equivalently, on their cones of feasible directions, but are far from being unique. In this thesis, we present the local formulas mu as established by Achill Schürmann and the author in 2019. The construction is based on choices of fundamental domains whose lattice translates tile the space and thus allows a geometric interpretation of the values of mu. Additionally, we expand mu to a function on rational polytopes that determines the coefficients of Ehrhart quasipolynomials, we prove new results about the symmetric behavior of mu and introduce a variation of mu that is well-suited for implementations.
Peter McMullen bewies 1983, dass die Koeffizienten der Ehrhart-Polynome eines Gitterpolytops als eine gewichtete Summe über die Volumen der Seiten dargestellt werden können. Die Gewichte einer solchen lokalen Formel hängen nur von den Normalenkegeln der Seiten oder, äquivalent, von deren Kegeln zulässiger Richtungen ab, sind aber bei weitem nicht eindeutig. In dieser Arbeit präsentieren wir die lokalen Formeln mu wie sie von Schürmann und der Autorin in 2019 eingeführt wurden. Die Konstruktion basiert auf einer Wahl von Fundamentalzellen, deren Gittertranslate den Raum kacheln und dadurch eine geometrische Interpretation der Werte der Funktion mu erlauben. Zudem erweitern wir mu auf eine Funktion auf rationalen Polytopen, wir beweisen neue Resultate bezüglich des Verhaltens unter Symmetrien von mu und führen eine Variation von mu ein, die besonders für Implementierungen geeignet ist.