Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

Institut für Mathematik

Fachgebiet: Mathematik, Stochastick

Betreuer: Prof. Dr. Alexander Meister



M. Sc. Sebastian Kühnert
(e-mail: sebastian.kuehnert@uni-rostock.de )

Über funktionale ARCH- und GARCH-Zeitreihen

Das ARCH(p)- und das GARCH(p,q)-Modell mit natürlichen Zahlen p,q wird häufig für die Modellierung von reellwertigen Finanzzeitreihen verwendet. Diese Modelle werden für Zeitreihen definiert, die Werte in Räumen von Funktionen mit Definitionsbereich [0,1] annehmen. Es werden hinreichende Bedingungen für die Existenz von stark stationären Lösungen von Zeitreihen angegeben, die Werte in L^p[0,1]-Räumen und die Werte in separablen Räumen annehmen, die mit der Supremumsnorm versehen sind und Funktionen mit Definitionsbereich [0,1] beinhalten. Ferner werden Schätzer für den Shiftterm und für die Operatoren von ARCH(p)- und GARCH(p,q)-Zeitreihen mit Werten in L^2[0,1] konstruiert. Für diese Schätzer werden asymptotische obere Schranken mit expliziten Konvergenzraten im Sinne von Konvergenz in Wahrscheinlichkeit hergeleitet.

The ARCH(p) model and the GARCH(p,q) model with integers p,q are usually applied in order to model real valued financial time series. They are established for time series which take their values in function spaces of functions on the domain [0,1]. Sufficient conditions for the existence of strictly stationary solutions are provided for L^p[0,1] spaces and separable function spaces with domain [0,1] endowed with the supremum norm. Estimators are constructed for the shift term and for the coefficient operators of the ARCH(p) time series and of the GARCH(p,q) time series with values in L^2[0,1]. For these estimators asymptotic upper bounds with an explicit convergence rate are deduced in the sense of convergence in probability.