In dieser Arbeit wird das Zusammenspiel von topologischen Systemen mit Symmetrien sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht. Die theoretischen Modelle wurden in Wellenleiterstrukturen, die mit einem Femtosekundenlaser geschriebenen wurden, experimentell realisiert und bestätigt.
Eingebettet in das Feld der nicht-Hermiteschen Physik wird zunächst das Zusammenspiel eines topologischen Phasenübergangs mit einer Symmetriebrechung näher betrachtet und beide Übergänge gemessen. Weiterhin wird untersucht und gemessen, wie Supersymmetrie-Transformationen genutzt werden können um topologische Randzustände zu erhalten, zu manipulieren oder sogar zu zerstören. Im Anschluss wird das neuartige Konzept der topologischen Quadratwurzel-Isolatoren eingeführt, in welchem quantisierte topologische Indizes auftreten, wenn der Hamiltonoperator quadriert wird. Die resultierenden topologischen Randzustände konnten experimentell nachgewiesen werden. Abschließend wird die Entstehung von nicht-abelschen geometrischen Phasen in einer dreibeinartigen Wellenleiteranordnung untersucht und vermessen, welche mithilfe des neuartigen Konzeptes der Quantenmetrik für eine adiabatische Evolution optimiert ist.
In this thesis the interplay of topological systems with symmetries is investigated both, theoretically and experimentally. The theoretical models are experimentally implemented and confirmed by means of femtosecond laser written waveguide structures.
Embedded into the field of non-Hermitian physics, first the interplay of a topological phase transition with the symmetry breaking transition is investigated and both transitions are measured. Furthermore, it is studied and measured how supersymmetry transformations can be used to preserve, manipulate, or even destroy topological edge states. This is followed by introducing the novel concept of square root topological insulators, in which quantised topological indices emerge if the Hamiltonian is squared. The resulting topological edge states are experimentally confirmed. The thesis is concluded by investigating and measuring the emergence of non-Abelian geometric phases in a tripod waveguide structure, which is optimised for an adiabatic evolution by using the novel concept of a quantum metric.