In dieser Arbeit wird das Zusammenspiel von topologischen Systemen mit Symmetrien sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht. Die theoretischen Modelle wurden in Wellenleiterstrukturen, die mit einem Femtosekundenlaser geschriebenen wurden, experimentell realisiert und best�tigt.
Eingebettet in das Feld der nicht-Hermiteschen Physik wird zun�chst das Zusammenspiel eines topologischen Phasen�bergangs mit einer Symmetriebrechung n�her betrachtet und beide �berg�nge gemessen. Weiterhin wird untersucht und gemessen, wie Supersymmetrie-Transformationen genutzt werden k�nnen um topologische Randzust�nde zu erhalten, zu manipulieren oder sogar zu zerst�ren. Im Anschluss wird das neuartige Konzept der topologischen Quadratwurzel-Isolatoren eingef�hrt, in welchem quantisierte topologische Indizes auftreten, wenn der Hamiltonoperator quadriert wird. Die resultierenden topologischen Randzust�nde konnten experimentell nachgewiesen werden. Abschlie�end wird die Entstehung von nicht-abelschen geometrischen Phasen in einer dreibeinartigen Wellenleiteranordnung untersucht und vermessen, welche mithilfe des neuartigen Konzeptes der Quantenmetrik f�r eine adiabatische Evolution optimiert ist.
In this thesis the interplay of topological systems with symmetries is investigated both, theoretically and experimentally. The theoretical models are experimentally implemented and confirmed by means of femtosecond laser written waveguide structures.
Embedded into the field of non-Hermitian physics, first the interplay of a topological phase transition with the symmetry breaking transition is investigated and both transitions are measured. Furthermore, it is studied and measured how supersymmetry transformations can be used to preserve, manipulate, or even destroy topological edge states. This is followed by introducing the novel concept of square root topological insulators, in which quantised topological indices emerge if the Hamiltonian is squared. The resulting topological edge states are experimentally confirmed. The thesis is concluded by investigating and measuring the emergence of non-Abelian geometric phases in a tripod waveguide structure, which is optimised for an adiabatic evolution by using the novel concept of a quantum metric.