Irreducible polynomials over finite fields play a vital role in modern coding and cryptography. In this thesis we determine the generators of a very popular set of codes - the cyclic and the constacyclic codes over finite fields. This problem is equivalent to the explicit factorization of the polynomials X^n − 1 and X^n − a over a finite field for positive integers n and a nonzero field element a. Both polynomials were studied since the 19th century. However, though partial results existed, no closed explicit formula for their factorization was known. From our formula for the polynomial X^n − 1 we derive the explicit factorization of the famous n-th cyclotomic polynomial over a finite field. Among the first to study the factorization of the n-th cyclotomic polynomial over finite fields was Carl Friedrich Gauss in 1876 and the polynomial has fascinated many mathematicians since then. Additionally, our formula for the polynomial X^n − a can be extended to a closed explicit formula for the factorization of a more general class of polynomials - the compositions with X^n. This formula yields an algorithm which factors polynomials of this class much more efficiently than standard factoring algorithms.
For the construction and efficient implementation of finite fields we need irreducible polynomials of a given degree and a low weight. Applications in cryptography call for irreducible polynomials of a high order or other additional properties. In general it is a challenging task to find irreducible polynomials. This task becomes even harder when we are looking for irreducible polynomials with very specific properties. To tackle this problem we present a construction of a large set of irreducible polynomial of the same degree from one given irreducible polynomial. This large number allows the selection of the candidates with the desired properties. The construction is based on the composition with X^n and reverses the classical composition method.
Irreduzible Polynome über endlichen Körpern spielen eine wichtige Rolle in der modernen Codierungstheorie und Kryptographie. In dieser Disseration bestimmen wir die Generatoren zweier sehr beliebter Mengen von Codes - die zyklischen und die konstazyklischen Codes über endlichen Körpern. Dieses Problem ist äquivalent zu der expliziten Faktorisierung der Polynome X^n-1 und X^n-a über einem endlichen Körper. Beide Polynome wurden seit dem 19. Jahrhundert untersucht, aber bislang existierte noch keine allgemeingültige geschlossene Formel für ihre explizite Faktorisierung. Aus unserer Faktorisierung des Polynoms X^n-1 leiten wir eine neue explizite Formel für die Faktorisierung des berühmten n-ten zyklotomischen Polynoms her, welches zuerst von Carl Friedrich Gauss im Jahre 1876 untersucht wurde. Außerdem bestimmen wir eine explizite und geschlossene Formel für die Faktorisierung einer allgemeineren Klasse von Polynomen, den sogenannten Kompositionen mit dem Polynom X^n, welche sich in einen Algorithmus umformulieren lässt. Dieser faktorisiert Polynome dieser Klasse deutlich effektiver als etablierte Algorithmen.
Weiterhin präsentieren wir eine rekursive Konstruktion einer großen Menge von irreduziblen Polynomen, aus welcher sich geeignete Kandidaten für beliebige Anwendungen auswählen lassen. Die Konstruktion basiert ebenfalls auf der Komposition von Polynomen mit X^n und kehrt die klassische Kompositionsmethode um.