Die Dissertation beschäftigt sich mit quantenmechanischen Systemen in Form eines funktionalanalytischen Modells. Allgemein wird die Zustandsentwicklung eines Systems, ausgehend von einem ein Anfangszustand, durch die Schrödingergleichung beschrieben. Die dazugehörigen Schrödingeroperatoren H charakterisieren die Energie des Systems, wobei deren Eigenwerte die möglichen Energieniveaus des Systems beschreiben. Im kleinsten Energieniveau befindet sich das System im Grundzustand, welcher eine besondere Rolle einnimmt.
Funktionalanalytisch wird dies nach John von Neumann im Hilbertraum der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen modelliert. Formal ist H definiert als die Summe aus negativem Laplaceoperator und einem Multiplikationsoperator q. Aus einer neu entwickelten Version des Lemmas von Rosen wird eine einfache Bedingung an q gewonnen, die sogenannte Log-Sobolev-Ungleichungen der Schrödingeroperatoren sichert. Mit diesen wird dann die intrinsische Ultrakontraktivität der Schrödinger-Halbgruppen nachgewiesen. Eine einfache Folgerung daraus ist die Dominanz des Grundzustands eines quantenmechanischen Systems gegenüber allen anderen Wellenfunktionen des Systems.
Abschließend wird an Beispielen wie dem harmonischem Oszillator in der Quantenmechanik nachgewiesen, dass die dazugehörige Halbgruppe intrinsisch ultrakontraktiv ist. Dabei wird aufgezeigt, dass die aufgeführte Bedingung an q einfacher nachzuweisen ist und bessere Ergebnisse liefert als bisher bekannte Ansätze.
This dissertation examines quantum mechanical systems in form of a functional analytic model. The evolution of a system is characterized by Schrödinger‘s equation and its initial state. The associated Schrödinger operator H characterizes the energy of the system such that its eigenvalues are interpreted as the possible energy states. The operator H is formally defined as the sum of the negative Laplacian and a multiplication by q in the Hilbert space of square integrable functions.
A new version of Rosen‘s lemma offers a simple condition on q such that Log Sobolev inequalaties for H follow. These are crucial for proving intrinsic ultracontractivity of the Schrödinger semigroup. A simple corollary is the dominance of the system‘s ground state to any other wave function. Among other examples it is shown that the semigroup of the quantum harmonic oscillator is intrinsic ultracontractive. The new condition on q is much easier to handle and offers better results.