Betreuer: Herr Prof. Uwe Leck und Dr. Peter Wagner
Was mich an der Mathematik und speziell an der Kombinatorik besonders begeistert, ist, wie wenig
es für spannende und hübsche Strukturen braucht. Meine Masterarbeit handelt in erster Linie von
Strichen und Punkten – und die meisten Beweise lassen sich durch einfache Schemata veranschauli-
chen. Zur Einführung in das Thema und um auf intuitive Begrifflichkeiten zurückgreifen zu können,
möchte ich ein kleines Bild heranziehen: Betrachten wir eine Großfamilie von etwa Mäusen, unter
denen keine sonderlichen Vorbehalte gegenüber Nachwuchs zwischen Verwandten bestehen. (Genau
genommen ist auch die Anzahl der Eltern pro Kind nicht von Belang.) Wichtig ist, dass Nachwuchs
ausschließlich zwischen Mäusen der gleichen Generation auftritt. Es lässt sich also eine Unterteilung
des Stammbaums in Generationen vornehmen, sodass alle Verbindungen von Eltern und Kind zwi-
schen aufeinanderfolgenden Generationen verlaufen. Diese Vorfahre-Nachkomme-Relation stellt eine
Halbordnung auf der Menge der Mäuse dar; Mäuse der gleichen Generation lassen sich so zum Beispiel
noch nicht vergleichen. Eine solche Struktur heißt Poset. Um auch die Mäuse innerhalb einer Genera-
tion vernünftig anordnen zu können, sortieren wir den Stammbaum zusätzlich von links nach rechts
aufsteigend nach dem Alter. Dieses ist für zwei Mäuse stets vergleichbar und liefert uns eine Totalord-
nung auf dem Mäuse-Poset. Schließlich fordern wir noch, dass die jüngsten Mäuse einer Generation
stets die wenigsten und die jüngsten Nachkommen haben – und schon wird aus unserem Mäuse-Poset
ein Macaulay Poset, benannt nach dem Britischen Mathematiker F. S. Macaulay, der sich als erster
solche Strukturen in einer 1927 erschienen Veröffentlichung angesehen hat.

Nun interessiere ich mich besonders für die Darstellung von Macaulay Posets, welche man erhält, wenn
man im Stammbaum eine Maus nur mit ihrem jüngsten Elternteil verbindet. Das Hauptresultat meiner
Masterarbeit besteht in dem Nachweis, dass jedes Macaulay Poset einer gewissen Klasse die folgen-
de Eigenschaft – end-schattenvergrößernd genannt – hat: Wenn man aus zwei aufeinanderfolgenden
Generationen gleich viele älteste Mäuse betrachtet, dann haben in der beschriebenen Darstellung die
der oberen Generation zusammen stets mindestens so viele Nachkommen wie die der unteren. Daraus
konnte ich weitere nette und bisher noch offene Eigenschaften für gewisse Macaulay Posets folgern.
In der Arbeit wird zudem die 0-1-Teilwort-Ordnung behandelt, deren obere Schichten auf der Abbil-
dung dargestellt sind. Dazu betrachte man alle Worte, die sich aus dem Alphabet {0, 1} bilden lassen.
Diese teilen wir entsprechend ihrer Länge in Schichten ein, verbinden ein Wort mit allen, die sich durch
Ergänzen eines Buchstabens an beliebiger Stelle erzeugen lassen und ordnen gemäß der Gesamtanzahl
an Einsen bzw. der ersten auftretenden Eins von links nach rechts, um ein Macaulay Poset zu erhal-
ten. Löscht man wieder von jedem Wort alle Verbindungen nach oben außer der ersten, so beobachtet
man, dass die unterschiedlich eingefärbten Teilposets jeweils isomorph zu anderen sind. Dies konnte
ich nutzen, um auch für die 0-1-Teilwort-Ordnung End-Schattenvergrößerung nachzuweisen.
Obwohl es sich dabei um ein recht theoretisches Thema hat, gibt es durchaus einige Anwendungen;
insbesondere für gewisse Optimierungsprobleme sind Macaulay Posets mit zusätzlichen Eigenschaften
von Interesse. Lediglich eine Anwendbarkeit auf Mäuse ist mir bislang nicht bekannt – vermutlich ist
diesen ihr Stammbaum auch ziemlich egal.